泊松分布是什么

Poisson 分布(法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等)，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在 1838 年时发表。

泊松分布的概率质量函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

若随机变量 X 取 0 和一切正整数值，在 n 次独立试验中出现的次数 x 恰为 k 次的概率 P（X=k）=（k=0,1,…,n），式中λ是一个大于 0 的参数，此概率分布称为泊松分布。它的期望值为 E(x)=λ，方差为 D(x) = λ。当 n 很大，且在一次试验中出现的概率 P 很小时，泊松分布近似二项分布。

泊松分布使用范围

Poisson 分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：

【第1句】：给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；

【第2句】：各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；

【第3句】：各区域内，事件发生的概率是相互独立的；

【第4句】：当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于 0。

例如：

【第1句】：放射性物质在单位时间内的放射次数；

【第2句】：在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；

【第3句】：野外单位空间中的某种昆虫数等。

泊松分布的期望和方差

由泊松分布知 E[N(t) − N(t0)] = D[N(t) − N(t0)] = λ(t − t0)

特别的，令 t_0=0.由于假设 N(0)=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为 E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

泊松过程的强度lambda （常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

泊松分布的特征

【第1句】：泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量 n 必须很大。

【第2句】：λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小，分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称。

【第3句】：当λ = 20 时，分布泊松接近于正态分布；当λ = 50 时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。